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Stochastic Gradient Descent


확률적 경사하강법(stochastic gradient descent, SGD)은 무작위로 고른 관측 하나의 그래디언트로 매개변수를 갱신한다. 한 번의 추정은 흔들리지만, 같은 확률로 뽑으면 그 기댓값은 전체 그래디언트와 같다.

배치 경사하강법자료 전체의 평균 그래디언트로 갱신하며 선형 모델에서 한 번에 O(np)다.
SGD관측 하나의 그래디언트로 갱신하며 한 번에 O(p)다.
균등 추출의 기댓값같은 θ에서 균등 추출한 gᵢ의 기댓값은 ∇J(θ)와 같다.

관측 하나의 그래디언트는 전체 그래디언트와 다를 수 있다

같은 θ에서 고른 관측을 바꾸면 그 관측의 그래디언트 성분 gᵢ와 η = 0.1일 때의 갱신 방향, 전체 평균과의 차이가 바뀐다.

그래디언트 성분의 수직선세 관측의 그래디언트와 평균
수직선 위 짙은 점은 세 관측의 그래디언트 성분, 짙은 점선은 전체 평균 ∇J = 1이다. 초록 점이 갱신에 쓰는 값이고, 아래 초록 화살표가 θ의 이동 방향 −ηg다.

뽑은 그래디언트를 많이 모을수록 평균의 흔들림이 줄어든다

같은 θ에서 무작위로 뽑은 gᵢ들의 누적 평균은 추출 횟수 k가 늘수록 전체 그래디언트 1 주변에서 덜 흔들리는 경향이 있다. 한 추출 순서에서 k가 늘 때마다 1에 더 가까워지는 것은 아니다.

누적 평균추출 횟수에 따른 평균
가로축은 추출 횟수, 세로축은 그때까지 뽑은 gᵢ의 평균이다. 작은 점은 각 추출값, 파란 선은 누적 평균, 짙은 점선은 전체 그래디언트 1이다. 추출 순서는 고정한 무작위 순서다.